Question

【题目】狄利克雷是德国著名数学家，函数D（x）= 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D（x）的五个结论： ①若x是无理数，则D（D（x））=0；
②函数D（x）的值域是[0，1]；
③函数D（x）偶函数；
④若T≠0且T为有理数，则D（x+T）=D（x）对任意的x∈R恒成立；
⑤存在不同的三个点A（x1 ， D（x1）），B（x2 ， D（x2）），C（x3 ， D（x3）），使得△ABC为等边角形．
其中正确结论的序号是 ．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：①∵当x为有理数时，D（x）=1；当x为无理数时，D（x）=0，

∴当x为有理数时，D（D（x））=D（1）=1；当x为无理数时，D（D（x））=D（0）=1，

即不管x是有理数还是无理数，均有D（D（x））=1，故①不正确；

②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

∴对任意x∈R，都有D（﹣x）=D（x），故②正确；

③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，

∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，D（x+T）=D（x）对x∈R恒成立，故③正确；

④取x1=﹣ ，x2=0，x3= ，可得D（x1）=0，D（x2）=1，D（x3）=0，

∴A（ ，0），B（0，1），C（﹣ ，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．

即真命题是②③④，

所以答案是：②③④．