题目内容
【题目】如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC= ,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB
(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.
【答案】
(1)证明:∵O,M分别为AB,VA的中点,
∴OM∥VB,
∵VB平面MOC,OM平面MOC,
∴VB∥平面MOC
(2)∵AC=BC,O为AB的中点,
∴OC⊥AB,
∵平面VAB⊥平面ABC,OC平面ABC,
∴OC⊥平面VAB,
∵OC平面MOC,
∴平面MOC⊥平面VAB
(3)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC= ,∴AB=2,OC=1,
∴S△VAB= ,
∵OC⊥平面VAB,
∴VC﹣VAB= S△VAB= ,
∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=
【解析】(1)利用三角形的中位线得出OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC;(2)证明:OC⊥平面VAB,即可证明平面MOC⊥平面VAB(3)利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行;一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直即可以解答此题.
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