题目内容
4.“孝敬父母.感恩社会”是中华民族的传统美德.从出生开始,父母就对们关心无微不至,其中对我们物质帮助是最重要的一个指标,下表是一个统计员在统计《父母为我花了多少》当中使用处理得到下列的数据:参考数据公式:$\sum_{i=1}^6{x_i}{y_i}$=1024.6,$\sum_{i=1}^6{{x_i}^2}$=730,
线性回归方程:$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$,($\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{n=i}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$)
岁数x | 1 | 2 | 6 | 12 | 16 | 17 |
花费累积y(万元) | 1 | 2.8 | 9 | 17 | 22 | 24 |
(1)花费累积y与岁数x的线性回归直线方程(系数保留3位小数);
(2)24岁大学毕业之后,我们不再花父母的钱,假设你在30岁成家立业之后,在你50岁之前偿还父母为你的花费(不计利息).那么你每月要偿还父母约多少元钱?
分析 (1)利用公式计算$\overline{x}$,$\overline{y}$及系数a,b,可得回归方程;
(2)把x=24代入回归方程可得y值,即为预测父母为我们总的花费,然后除以240可得答案.
解答 解:(1)由题中表格数据得:$\overline{x}$=9,$\overline{y}$≈12.633,
$\sum_{i=1}^6{x_i}{y_i}$=1024.6,$\sum_{i=1}^6{{x_i}^2}$=730,
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum _{i=1}^{6}{x}_{i}{y}_{i}-6\overline{x}•\overline{y}}{\sum _{i=1}^{6}{{x}_{i}}^{2}-6{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1024-6×9×12.633}{730-6×9×9}$≈1.404,
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=12.633-1.404×9≈0.004,
故花费累积y与岁数x的线性回归直线方程为$\widehat{y}$=1.404 x+0.004;
(2)当x=24时,$\widehat{y}$=1.404×24+0.004=33.7(万元)
337000÷240≈1404(元)
所以每月要偿还1404元
点评 本题主要考查了线性回归分析的方法,包括散点图,用最小二乘法求参数,以及用回归方程进行预测等知识,考查了考生数据处理和运算能力.
练习册系列答案
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14.下图几何体是由选项中的哪个平面图旋转而得到的( )
A. | B. | C. | D. |
15.小明家1~4月份用电量的一组数据如下:
由散点图可知,用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是$\widehat{y}$═-7x+$\widehat{a}$,则$\widehat{a}$等于( )
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
用电量y | 45 | 40 | 30 | 25 |
A. | 105 | B. | 51.5 | C. | 52 | D. | 52.5 |
12.在△ABC中,若∠B=30°,AB=2$\sqrt{3}$,AC=2,则△ABC的面积为( )
A. | $\sqrt{3}$ | B. | 2$\sqrt{3}$或$\sqrt{2}$ | C. | 2$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,
得到下面的散点图及一些统计量的值.
其中wi=$\sqrt{{x}_{i}}$,$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}{w}_{i}$
(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d$\sqrt{x}$哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为:$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})({v}_{i}-\overline{v})}{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})^{2}}$,$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$.
得到下面的散点图及一些统计量的值.
$\overline{x}$ | $\overline{y}$ | $\overline{w}$ | $\sum_{i=1}^{8}({x}_{i}-\overline{x})^{2}$ | $\sum_{i=1}^{8}({w}_{i}-\overline{w})^{2}$ | $\sum_{i=1}^{8}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})$ | $\sum_{i=1}^{8}({w}_{i}-\overline{w})({y}_{i}-\overline{y)}$ |
46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d$\sqrt{x}$哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为:$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})({v}_{i}-\overline{v})}{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})^{2}}$,$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$.