题目内容
(12分)已知函数(
).
①当时,求曲线
在点
处的切线方程;
②设是
的两个极值点,
是
的一个零点
.证明:存在实数
,使得
按某种顺序排列后构成等差数列,并求
.
①.②存在实数
满足题意,且
.
解析试题分析:(1)将a,b的值代入后对函数f(x)进行求导,根据导数的几何意义即函数在某点的导数值等于该点的切线的斜率,可得答案.
(2)对函数f(x)求导,令导函数等于0解出x的值,然后根据x3是f(x)的一个零点可得到x3=b,然后根据等差数列的性质可得到答案.
解:①当时,
,故
,又
,
所以点
处的切线方程为:
.
②证明:因为=
,由于
,故
,
所以的两个极值点为
,不妨设
,
,
因为,且
是
的一个零点,故
,
由于,故
,故
,又
,
故=
,此时
依次成等差数列,
所以存在实数满足题意,且
.
考点:本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识.
点评:对于导数在研究函数中的运用问题,对于导数的几何意义是考试的必考的一个知识点,要引起重视,同时对于极值点的导数为零是该点为极值点的必要不充分条件。

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