题目内容
【题目】在四棱锥中,底面ABCD是边长为6的菱形,且
,
平面ABCD,
,F是棱PA上的一个动点,E为PD的中点.
Ⅰ
求证:
.
Ⅱ
若
.
求PC与平面BDF所成角的正弦值;
侧面PAD内是否存在过点E的一条直线,使得该直线上任一点M与C的连线,都满足
平面BDF,若存在,求出此直线被直线PA、PD所截线段的长度,若不存在,请明理由.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
证明
平面PAC即可得出
;
建立空间坐标系,求出平面BDF的法向量
,计算
和
的夹角的余弦值即可;
取PF的中点G,证明平面
,即可得出结论.
证明:
平面ABCD,
平面ABCD,
,
四边形ABCD是菱形,
,
又,
平面PAC,
平面PAC,
平面PAC,
又平面PAC,
.
解:
设AC,BD交于点O,以O为坐标原点,以OB,OC,平面ABCD过点O的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系,
则0,
,
0,
,
,
3,
,
,
,
0,
,
,
设平面BDF的法向量为y,
,则
,即
,
令可得
,即
2,
,
,
.
与平面BDF所成角的正弦值为
,
.
取PF的中点G,连接FG,CG,
,G分别是PD,PF的中点,
,又
平面BDF,
平面BDF,
平面BDF,
,O分别是AG,AC的中点,
,又
平面BDF,
平面BDF,
平面BDF,
又平面CEG,
平面CEG,
,
平面
平面BDF,
侧面PAD内存在过点E的一条直线EG,使得该直线上任一点M与C的连线,
都满足平而BDF,
此直线被直线PA、PD所截线段为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在某区“创文明城区”简称“创城”
活动中,教委对本区A,B,C,D四所高中校按各校人数分层抽样调查,将调查情况进行整理后制成如表:
学校 | A | B | C | D |
抽查人数 | 50 | 15 | 10 | 25 |
“创城”活动中参与的人数 | 40 | 10 | 9 | 15 |
注:参与率是指:一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值
假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.
Ⅰ
若该区共2000名高中学生,估计A学校参与“创城”活动的人数;
Ⅱ
在随机抽查的100名高中学生中,从A,C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生,求恰有1人参与“创城”活动的概率;
Ⅲ
若将表中的参与率视为概率,从A学校高中学生中随机抽取3人,求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望.