Question

【题目】已知.

（1）求证：恒成立；

（2）试求的单调区间；

（3）若，，且，其中，求证：恒成立.

Answer 1

【答案】(1) 证明见解析；(2) 单调递增区间为，无单调递减区间。 (3)证明见解析

【解析】

（1）构造函数，利用导数求出函数的最小值，利用来证明所证不等式成立；

（2）先解等式可得出函数的定义域，求出该函数的导数，利用（1）中的结论得出在定义域内恒成立，由此可得出函数的单调区间；

（3）证法一：利用分析法得出要证，即证，利用数学归纳法和单调性证明出对任意的恒成立，再利用（1）中的不等式即可得证；

证法二：利用数学归纳法证明，先验证当时，不等式成立，即，再假设当时不等式成立，即，利用函数的单调性得出，由归纳原理证明所证不等式成立.

（1）令，则，由得，由得.

函数在上单调递减，在上单调递增，

，即恒成立；

（2）由得或，函数的定义域为，

因为，

由（1）可知当时，恒成立，且，.

函数单调递增区间为，，无单调递减区间；

（3）证法一：，要证，即证，

即证，即证.

先证对任意，，即，即.

构造函数，其中，则，

则函数在上单调递增，，

所以，对任意的，，即，.

下面证明对任意的，.

，.

假设当时，，则当时，.

由上可知，对任意的，.

由（1）可知，当时，，，，

因此，对任意的，；

证法二：数学归纳法

①当时，，，

，，即成立；

②假设当时结论成立，即成立.

由（2）知，函数在上单调递增，，

又，，，当时结论成立

综合①②，恒成立.