题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,椭圆
经过点
,离心率为
. 已知过点
的直线
与椭圆
交于
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问轴上是否存在定点
,使得
为定值.若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
.
【解析】分析:(1)先根据已知得到三个方程解方程组即得椭圆C的方程. (2) 设N(n,0),先讨论l斜率不存在的情况得到n=4,再证明当N为(4,0)时,对斜率为k的直线l:y=k(x-),恒有
=12.
详解:(1)离心率e=,所以c=
a,b=
=
a,
所以椭圆C的方程为.
因为椭圆C经过点,所以
\,
所以b2=1,所以椭圆C的方程为.
(2)设N(n,0),
当l斜率不存在时,A(,y),B(
,-y),则y2=1-
=
,
则=(
-n)2-y2=(
-n)2-
=n2-
n-
,
当l经过左右顶点时,=(-2-n)(2-n)=n2-4.
令n2-n-
=n2-4,得n=4.
下面证明当N为(4,0)时,对斜率为k的直线l:y=k(x-),恒有
=12.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y,得(4k2+1)x2-
k2x+
k2-4=0,
所以x1+x2=,x1x2=
,
所以=(x1-4)(x2-4)+y1y2
=(x1-4)(x2-4)+k2(x1-)(x2-
)
=(k2+1)x1x2-(4+k2)(x1+x2)+16+
k2
=(k2+1) -(4+
k2)
+16+
k2
=+16=12.
所以在x轴上存在定点N(4,0),使得为定值.

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