题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)当时,求不等式
在
上的解;
(2)设,
关于直线
对称的函数为
,求证:当
时,
;
(3)若函数恰好在
和
两处取得极值,求证:
.
【答案】(1)(2)证明见解析;(3)证明见解析;
【解析】
(1)当时,对
求导,判断导函数在
上的正负号,说明函数
在
上的单调性,再利用
,即可解出不等式.
(2)根据题意求出,令
,求出
说明其大于0.则
在
上单调递增,再结合
,即可得证.
(3)根据题意可知,
是函数
的两个不同实根.不妨设
,分别根据函数零点存在性定理可得
,可得
,则
,要证
即证
.化简得
,令
再根据函数,求导说明函数在
上是减函数,结合
,即可得证.
(1)当时,
,
,
,
∴在
上单调递增,
∴,
∴在
上单调递增,又
,
∴的解集为
;
(2),
∵关于直线
对称的函数为
,
∴
∴
令,
,当且仅当
时取“=”,
∵,故上式取不到“=”,即
,
∴在
上单调递增,
故,即
,
∴当时,
,
(3)证明:由已知,
由,
是函数
的两个不同极值点(不妨设
).
即,
是函数
的两个不同实根.
即,
∴,
,
两式相减得:,
于是要证明,即证明
,
两边同除以,即证
,即证
,
即证
令
即证不等式当
时恒成立.
设,
∴
而,即
,∴
,
∴在
上是减函数,又
∴恒成立.
则.
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