题目内容
【题目】如图,在直三棱柱中,
,
,
,
,
为
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
(1)连接交
于点
,连接
,由矩形的性质,结合三角形中位线定理可得
,由线面平行的判定定理可得结果;(2)先证明
,分别以
,
,
为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系,求得直线
的方向向量,利用向量垂直数量积为零列方程求得平面
的法向量,由空间向量夹角余弦公式可得结果.
(1)连接交
于点
,连接
,因为四边形
是矩形,所以点
是
的中点,
又点为
的中点,所以
是
的中位线,所以
.
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)由,
,
,可得
,
分别以,
,
为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系
,
则有,
,
,
,
所以,
,
,
设直线与平面
所成角为
,平面
的法向量为
,
则,即
,令
,得
,
所以
.

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