题目内容

【题目】如图三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为4的正三角形AA1⊥平面ABCAA12MA1B1的中点

(1)求证MCAB;

(2)在棱CC1上是否存在点P使得MC⊥平面ABP若存在确定点P的位置若不存在说明理由

(3)若点PCC1的中点求二面角BAPC的余弦值

【答案】(1)详见解析(2)当点P为线段CC1的中点时MC⊥平面ABP. 3

【解析】试题分析: 1)取AB中点O,连接OMOC,证明AB⊥平面OMC,可得MCAB;(2)建立空间直角坐标系,设P02t)(0≤t≤2),要使直线MC⊥平面ABP,只要 即可得出结论;(3)若点PCC1的中点,求出平面PAC的一个法向量、平面PAB的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求二面角B-AP-C的余弦值.

试题解析:

(1)证明AB的中点O连接OMOC.

MA1B1中点

OMA1A.A1A⊥平面ABC

MO⊥平面ABC

AB平面ABCMOAB.

∵△ABC为正三角形ABCO.

MOCOOMOCO平面OMCAB⊥平面OMC.

又∵MC平面OMCABMC.

(2)O为原点的方向分别为xyz轴的正方向

建立空间直角坐标系如图

依题意O(0,0,0)A(2,0,0)B(2,0,0)C(0,20)M(0,0,2)

P(0,2t)(0t2)

(0,2,-2)(4,0,0)(0,2t)

要使直线MC⊥平面ABP只要

(2)22t0解得t.

∴点P的坐标为(0,2)

∴当点P为线段CC1的中点时MC⊥平面ABP.

(3)取线段AC的中点DD的坐标为(10)易知DB⊥平面A1ACC1

(3,-0)为平面PAC的一个法向量

又由(2)(0,2,-2)为平面PAB的一个法向量

设二面角BAPC的平面角为α

|cosα|

.

∴二面角BAPC的余弦值为.

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