题目内容
【题目】如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4的正三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=2,M为A1B1的中点.
(1)求证:MC⊥AB;
(2)在棱CC1上是否存在点P,使得MC⊥平面ABP?若存在,确定点P的位置;若不存在,说明理由.
(3)若点P为CC1的中点,求二面角B-AP-C的余弦值.
【答案】(1)详见解析(2)当点P为线段CC1的中点时,MC⊥平面ABP. (3)
【解析】试题分析: (1)取AB中点O,连接OM,OC,证明AB⊥平面OMC,可得MC⊥AB;(2)建立空间直角坐标系,设P(0,2,t)(0≤t≤2),要使直线MC⊥平面ABP,只要 即可得出结论;(3)若点P为CC1的中点,求出平面PAC的一个法向量、平面PAB的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求二面角B-AP-C的余弦值.
试题解析:
(1)证明:取AB的中点O,连接OM,OC.
∵M为A1B1中点,
∴OM∥A1A.又A1A⊥平面ABC,
∴MO⊥平面ABC,
∵AB平面ABC,∴MO⊥AB.
∵△ABC为正三角形,∴AB⊥CO.
又MO∩CO=O,MO,CO平面OMC,∴AB⊥平面OMC.
又∵MC平面OMC,∴AB⊥MC.
(2)以O为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,
建立空间直角坐标系,如图.
依题意O(0,0,0),A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(0,0,2).
设P(0,2,t)(0≤t≤2),
则=(0,2,-2),=(4,0,0,),=(0,2,t).
要使直线MC⊥平面ABP,只要
即(2)2-2t=0,解得t=.
∴点P的坐标为(0,2,).
∴当点P为线段CC1的中点时,MC⊥平面ABP.
(3)取线段AC的中点D,则D的坐标为(-1,,0),易知DB⊥平面A1ACC1,
故=(3,-,0)为平面PAC的一个法向量.
又由(2)知=(0,2,-2)为平面PAB的一个法向量.
设二面角B-AP-C的平面角为α,
则|cosα|=
==.
∴二面角B-AP-C的余弦值为.