Question

【题目】已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ ． （Ⅰ）若a=2，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈（﹣1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=2时， ，f（1）=ln2﹣1，， ，
∴k=f′（1）=0，
∴切线方程为y=ln2﹣1．
（Ⅱ） ．
①当a≤0时，a﹣1≤﹣1，又x∈（﹣1，+∞），
∴x﹣（a﹣1）＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，
又∵f（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，与题意不符．
②当a＞0，令f′（x）=0，得x=a﹣1＞﹣1，
且﹣1＜x＜a﹣1时，f′（x）＜0，x＞a﹣1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=a﹣1时有极小值，也是最小值，
∴f（x）min=f（a﹣1）=lna﹣a+1≥0，
记g（x）=lnx﹣x+1，则 ，
令g′（x）=0，得x=1，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在x=1处有极大值就是最大值为g（1）=0，
∴lna﹣a+1最大值为0，
又lna﹣a+1≥0，故a=1，
即当且仅当a=1时f（x）≥0恒成立
【解析】（Ⅰ）当a=2时， ， f（1）=ln2﹣1，k=f′（1）=0，由此能求出切线方程．（Ⅱ） ，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出当且仅当a=1时f（x）≥0恒成立．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．