Question

【题目】已知点列An（xn ， 0），n∈N* ， 其中x1=0，x2=1．A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An+2是线段AnAn+1的中点，…设an=xn+1﹣xn ． （Ⅰ）写出xn与xn﹣1、xn﹣2（n≥3）之间的关系式并计算a1 ， a2 ， a3；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， ． （Ⅱ）猜想
证明：①当n=1时，a1= =1
∴当n=1时， 成立．
②假设当n=k时 成立．
则当n=k+1时， = ，
∴当n=k+1时，公式成立．
综上①②得，对任意n∈N* ， 公式 成立
【解析】（Ⅰ）根据题意，An是线段An﹣2An﹣1的中点，可得xn与xn﹣1、xn﹣2之间的关系式，并令n=1，2，3求出答案即可．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{an}项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．
【考点精析】掌握数学归纳法的定义是解答本题的根本，需要知道数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．