Question

【题目】若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】a＜0或a≥
【解析】解：由x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得x+a（y﹣2ex）ln =0， 即1+a（ ﹣2e）ln =0，
即设t= ，则t＞0，
则条件等价为1+a（t﹣2e）lnt=0，
即（t﹣2e）lnt= 有解，
设g（t）=（t﹣2e）lnt，
g′（t）=lnt+1﹣ 为增函数，
∵g′（e）=lne+1﹣ =1+1﹣2=0，
∴当t＞e时，g′（t）＞0，
当0＜t＜e时，g′（t）＜0，
即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，
即g（t）≥g（e）=﹣e，
若（t﹣2e）lnt= 有解，
则 ≥﹣e，即 ≤e，
则a＜0或a≥ ，
所以答案是：a＜0或a≥ ．