题目内容

【题目】若存在两个正实数x、y,使得等式x+a(y﹣2ex)(lny﹣lnx)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围为

【答案】a<0或a≥
【解析】解:由x+a(y﹣2ex)(lny﹣lnx)=0得x+a(y﹣2ex)ln =0, 即1+a( ﹣2e)ln =0,
即设t= ,则t>0,
则条件等价为1+a(t﹣2e)lnt=0,
即(t﹣2e)lnt= 有解,
设g(t)=(t﹣2e)lnt,
g′(t)=lnt+1﹣ 为增函数,
∵g′(e)=lne+1﹣ =1+1﹣2=0,
∴当t>e时,g′(t)>0,
当0<t<e时,g′(t)<0,
即当t=e时,函数g(t)取得极小值,为g(e)=(e﹣2e)lne=﹣e,
即g(t)≥g(e)=﹣e,
若(t﹣2e)lnt= 有解,
≥﹣e,即 ≤e,
则a<0或a≥
所以答案是:a<0或a≥

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