题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
,
两点,且以
为直径的圆过椭圆的右顶点
,求
面积的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为
,
所以, ……………1分
又椭圆的离心率为,即
,所以
, ………………2分
所以,
. ………………4分
所以,椭圆
的方程为
. ………………5分
(Ⅱ)方法一:不妨设的方程
,则
的方程为
.
由得
, ………………6分
设,
,因为
,所以
, …………7分
同理可得, ………………8分
所以,
, ………………10分
, ………………12分
设,则
, ………………13分
当且仅当时取等号,所以
面积的最大值为
. ………………14分
方法二:不妨设直线的方程
.
由消去
得
, ………………6分
设,
,
则有,
. ① ………………7分
因为以为直径的圆过点
,所以
.
由,
得. ………………8分
将代入上式,
得.
将 ① 代入上式,解得或
(舍). ………………10分
所以(此时直线
经过定点
,与椭圆有两个交点),
所以
. ……………12分
设,
则.
所以当时,
取得最大值
. ……………14分
【解析】
(1)由题意可知2a+2c和e的值,所以可以求出a,b,c进而确定椭圆方程.
(2)以AB为直径的圆过右顶点C,实质是,然后用坐标表示出来,再通过直线l的方程与椭圆方程联立,借助韦达定理和判断式把△ABC面积表示成关于k的函数,然后利用函数的方法求最值.
(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为
,∴
, 又椭圆的离心率为
,即
,所以
,
∴,
. ………… 3分∴
,椭圆
的方程为
.……4分
(Ⅱ)由直线的方程
.联立
消去
得
,………… 5分
设,
,则有
,
. ① ……… 6分
因为以为直径的圆过点
,所以
.由
,得
.…………… 7分
将代入上式,得
.
将 ① 代入上式,解得或
(舍). ……… 8分
所以,记直线
与
轴交点为
,则
点坐标为
,
所以
设,则
.
所以当时,
取得最大值为

【题目】微信是现代生活进行信息交流的重要工具,据统计,某公司名员工中
的人使用微信,其中每天使用微信时间在一小时以内的有
,其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上,若将员工分成青年(年龄小于
岁)和中年(年龄不小于
岁)两个阶段,那么使用微信的人中
是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信,那么经常使用微信的员工中
是青年人.
(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系,列出列联表:
青年人 | 中年人 | 总计 | |
经常使用微信 | |||
不经常使用微信 | |||
总计 |
(2)由列联表中所得数据判断,是否有百分之的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?
0.010 | 0.001 | |
6.635 | 10.828 |
附:
【题目】大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记住后蒙住眼睛快速还原魔方,盲拧在外人看来很神奇,其实原理是十分简单的,要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示,是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论,某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查,得到的情况如下表所示:
喜欢盲拧 | 不喜欢盲拧 | 总计 | |
男 | 23 | 30 | |
女 | 11 | ||
总计 | 50 |
表(1)
并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛,其完成情况如下表(2)所示.
成功完成时间(分钟) | ||||
人数 | 10 | 4 | 4 | 2 |
表(2)
(Ⅰ)将表(1)补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关?
(Ⅱ)现从表(2)中成功完成时间在和
这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录,求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率.
附参考公式及参考数据:,其中
.
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |