Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，

所以， ……………1分

又椭圆的离心率为，即，所以， ………………2分

所以，. ………………4分

所以，椭圆的方程为. ………………5分

（Ⅱ）方法一：不妨设的方程，则的方程为.

由得， ………………6分

设，，因为，所以， …………7分

同理可得， ………………8分

所以，， ………………10分

， ………………12分

设，则， ………………13分

当且仅当时取等号，所以面积的最大值为. ………………14分

方法二：不妨设直线的方程.

由消去得， ………………6分

设，，

则有，. ① ………………7分

因为以为直径的圆过点，所以.

由，

得. ………………8分

将代入上式，

得.

将 ① 代入上式，解得或（舍）. ………………10分

所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），

所以

. ……………12分

设，

则.

所以当时，取得最大值. ……………14分

【解析】

(1)由题意可知2a+2c和e的值，所以可以求出a,b,c进而确定椭圆方程.

（2）以AB为直径的圆过右顶点C，实质是,然后用坐标表示出来，再通过直线l的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理和判断式把△ABC面积表示成关于k的函数，然后利用函数的方法求最值.

（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，∴， 又椭圆的离心率为，即，所以，

∴，. ………… 3分∴，椭圆的方程为.……4分

（Ⅱ）由直线的方程.联立消去得，………… 5分

设，，则有，. ① ……… 6分

因为以为直径的圆过点，所以.由，得.…………… 7分

将代入上式，得.

将 ① 代入上式，解得或（舍）. ……… 8分

所以,记直线与轴交点为，则点坐标为，

所以

设，则.

所以当时，取得最大值为