题目内容
【题目】（本小题满分12分）
如图，四棱锥
的底面
为菱形，
平面，
，
分别为
的中点，
．
（Ⅰ）求证：平面
平面
．
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】．证明：（Ⅰ）∵四边形
是菱形，
∴
．
在
中，
，
，
∴
．
∴
，即
．
又
， ∴
．…………………2分
∵
平面，
平面，
∴ 
．又∵
，
∴
平面
，………………………………………4分
又∵平面
，
平面
平面． ………………………………6分
（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面
，
∴平面
平面………………………6分
∵平面，∴
．
由（Ⅰ）知，又
∴
平面，又
平面
，
∴平面
平面．…………………………8分
∴平面是平面与平面的公垂面．
所以，
就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．……9分
在
中，
，即
．……………10分
又
，
∴
．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
．…………12分
理（Ⅱ）解法二：以
为原点，
、分别为
轴、
轴的正方向，
建立空间直角坐标系
，如图．
因为
，，∴、、
、6分
则
，
，
．………7分
由（Ⅰ）知平面，
故平面的一个法向量为．……………………8分
设平面的一个法向量为
，
则
，即
，令，
则． …………………10分
∴
．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……………12分
【解析】
试题分析：（Ⅰ）∵四边形是菱形，
∴．
在中，，，
∴．
∴，即．
又， ∴．…………………2分
∵平面，平面，
∴ ．又∵，
∴平面，………………………………………4分
又∵平面，
平面平面． ………………………………6分
（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，
∴平面平面………………………7分
∵平面，∴．
由（Ⅰ）知，又
∴平面，又平面，
∴平面平面．…………………………9分
∴平面是平面与平面的公垂面．
所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．……10分
在中，，即．……………11分
又，
∴．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…………14分
理（Ⅱ）解法二：以为原点，、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，
、、、，…………7分
则，，．………8分
由（Ⅰ）知平面，
故平面的一个法向量为．……………………9分
设平面的一个法向量为，
则，即，令，
则． …………………11分
∴．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……14分
