Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．

（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．

Answer 1

【答案】
（1）证明：AB是圆O的直径，PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，

C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC．

再由AC∩PA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC

（2）解：若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，

连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点．

故OM是△ABC的中位线，QM是△PAC的中位线，故有OM∥BC，QM∥PC．

而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，故平面OQM∥平面PBC．

又QG平面OQM，∴QG∥平面PBC

【解析】（1）由PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC，根据直线和平面垂直的判定定理可得结论．（2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点．利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC，QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．