题目内容

(本小题满分12分)
设函数(为自然对数的底数),).
(1)证明:
(2)当时,比较的大小,并说明理由;
(3)证明:).
(1)设,即函数上单调递减,在上单调递增,在处取得唯一极小值。
(2)用数学归纳法证明即可;
(3)证明1:先证对任意正整数,再证对任意正整数

即要证明对任意正整数,不等式(*)成立,以下可以数学归纳法证明。
                                                        
试题分析:(1)设,所以
时,,当时,,当时,
即函数上单调递减,在上单调递增,在处取得唯一极小值,…2分
因为,所以对任意实数均有 .即
所以
(2)当时,.用数学归纳法证明如下:
①当时,由(1)知
②假设当)时,对任意均有

因为对任意的正实数
由归纳假设知,
上为增函数,亦即
因为,所以.从而对任意,有
即对任意,有.这就是说,当时,对任意,也有.由①、②知,当时,都有
(3)证明1:先证对任意正整数
由(2)知,当时,对任意正整数,都有.令,得.所以
再证对任意正整数

要证明上式,只需证明对任意正整数,不等式成立.
即要证明对任意正整数,不等式(*)成立
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*):
方法1(数学归纳法):
①当时,成立,所以不等式(*)成立.
②假设当)时,不等式(*)成立,即

因为 
所以
这说明当时,不等式(*)也成立.由①、②知,对任意正整数,不等式(*)都成立.
综上可知,对任意正整数成立 。
点评:本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力.题目较难,对学生的能力要求较高,我们在做题时,能得满分就得满分,不能得满分的尽量多得步骤分。
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