Question

18．已知函数f（x）=4^x-2^x+1+2，x∈R．
（1）当x∈[-1，2]时，求f（x）的值域．
（2）记（1）中的f（x）的值域为集合A，若关于x的方程x²-（a+1）x+a+1=0在x∈A上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）配方法化简f（x）=4^x-2^x+1+2=（2^x-1）²+1，从而求函数的值域；
（2）由（1）可求得f（x）的值域，即集合A=[1，+∞），再令g（x）=x²-（a+1）x+a+1，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}≥1}\\{△=（a+1）^{2}-4（a+1）≥0}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：（1）f（x）=4^x-2^x+1+2=（2^x-1）²+1，
∵x∈[-1，2]，
∴2^x∈[$\frac{1}{2}$，4]，
∴1≤（2^x-1）²+1≤10，
即f（x）的值域为[1，10]．
（2）∵f（x）=4^x-2^x+1+2=（2^x-1）²+1，
∴f（x）的值域，即集合A=[1，+∞），
令g（x）=x²-（a+1）x+a+1，
可知g（1）=1＞0，
∵方程x²-（a+1）x+a+1=0在x∈A上有解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}≥1}\\{△=（a+1）^{2}-4（a+1）≥0}\end{array}\right.$，
解得，a≥3，
故求实数a的取值范围为[3，+∞）．

点评 本题考查了配方法求函数的值域的方法应用及函数的判断与应用．