题目内容
【题目】已知动直线
与焦点坐标为
，离心率为
的曲线
相交于
两点（
为曲线的坐标原点），且
.
（1）求曲线的标准方程；
（2）证明：
和
都为定值.
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
（1）由题意布列关于基本量的方程组，即可得到曲线
的标准方程；（2）对直线
的斜率分类讨论，当直线的斜率
存在时，设直线的方程为
，代入，得
，结合韦达定理即可得到结果.
解：（1）∵曲线的离心率为
，∴该曲线为椭圆，
∵曲线的焦点坐标为
，
，
∴
，
，∴
∴曲线的标准方程为
（2）①当直线的斜率不存在时，当
关于
轴对称，
设
，得
，
，
在椭圆上，得
，
又∵
，得
联立与，可得
∴
，同理可得：
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入，得
，
∵
，且直线与曲线有两个交点，
∴由根与系数关系的
，
，
∴
因为
到直线的距离
，，
∴
令
，即有
，可推出
，得
即
，此时
,
综上所述，，
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