Question

【题目】已知椭圆的长轴为，分别为椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于的动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线l交椭圆C于两点，D为椭圆上一点，O为坐标原点，且满足，其中，求直线l的斜率k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）易知，当P点为椭圆上顶点时的面积最大，求出的值，然后写出方程即可；

（2）设直线方程为，联立直线和椭圆方程得，

设，，由韦达定理得出和的值，再由，得点坐标，代入椭圆方程得到与的关系，继而求出的范围.

（1）因为椭圆的长轴为，所以，

，因为面积的最大值为，

所以当P点为椭圆上顶点时面积最大，，

解得，故所求的椭圆方程为；

（2）由题意可知该直线的斜率存在，设其方程为，

由得，

∴，得，

设，，，则，

由，得，

代入椭圆方程得，

由，得且，

所以，

∴.