Question

【题目】在三棱锥P—ABC中，PB平面ABC，ABBC，AB=PB=2，BC=2，E、G分别为PC、PA的中点.

（1）求证：平面BCG平面PAC；

（2）假设在线段AC上存在一点N，使PNBE，求的值；

（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由，，得平面，即可得到本题的结论；（2）由N为线段AC一点，可设为，得，又由，可确定的取值，从而可得到本题答案；（3）求出平面的法向量，然后套入公式，即可得到本题答案.

（1） 因为平面，平面，所以，

又，，所以平面，则①，

又，为等腰直角三角形，G为斜边的中点，所以②，

又，所以平面，因平面，

则有平面平面 ；

（2）分别以为轴，建立空间直角坐标系，

那么，因此，，设，那么，

由，得，解得.

因此，因此；

（3）由（2）知，设平面的法向量为，则

，即，

令，得，因此，

设直线与平面所成角为，那么.