题目内容

17.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x,若f(x)≤1,求实数x的取值范围.

分析 根据奇函数的性质,函数的解析式,即可得到结论.

解答 解:∵f(x)为定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,满足不等式f(x)≤1,此时x=0,
当x>0时,由f(x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤1,解得x≥$\frac{1}{2}$,
当x<0,-x>0,则f(-x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(-x)=-f(x),
解得f(x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(-x),x<0,
此时由log${\;}_{\frac{1}{2}}$(-x)≤1,解得-x≥$\frac{1}{2}$,
即x≤-$\frac{1}{2}$,
综上不等式的解集为{x|x≥$\frac{1}{2}$或x≤-$\frac{1}{2}$或x=0}.

点评 本题主要考查不等式的求解,根据奇函数的性质求出函数的解析式是解决本题的关键.

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