题目内容

【题目】已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(2)若l过点( ,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.

【答案】
(1)证明:设直线l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),

将y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0),得(k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0,

则判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,

则x1+x2= ,则xM= = ,yM=kxM+b=

于是直线OM的斜率kOM= =

即kOMk=﹣9,

∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.


(2)解:四边形OAPB能为平行四边形.

∵直线l过点( ,m),

∴由判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,

即k2m2>9b2﹣9m2

∵b=m﹣ m,

∴k2m2>9(m﹣ m)2﹣9m2

即k2>k2﹣6k,

则k>0,

∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3,

由(1)知OM的方程为y= x,

设P的横坐标为xP

,即xP=

将点( ,m)的坐标代入l的方程得b=

即l的方程为y=kx+

将y= x,代入y=kx+

得kx+ = x

解得xM=

四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM

于是 =2×

解得k1=4﹣ 或k2=4+

∵ki>0,ki≠3,i=1,2,

∴当l的斜率为4﹣ 或4+ 时,四边形OAPB能为平行四边形.


【解析】(1)联立直线方程和椭圆方程,求出对应的直线斜率即可得到结论.(2)四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM , 建立方程关系即可得到结论.
【考点精析】通过灵活运用直线的斜率,掌握一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα即可以解答此题.

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