题目内容
【题目】如图,四棱锥中,
底面
,底面
是直角梯形,
,
,
,
,点
在
上,且
.
(Ⅰ)已知点在
上,且
,求证:平面
平面
;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为多少时,直线
与平面
所成的角为
?
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)当二面角的余弦值为
时,直线
与平面
所成的角为
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)现根据已知,结合平面几何知识证明,进而可证四边形
是平行四边形,则
,从而
,利用
底面
,结合线面垂直、面面垂直的判定定理可得结果;(Ⅱ)以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,∵
是平面
的一个法向量,
再求出平面的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)∵,
,∴
,
∵底面是直角梯形,
,
,
∴,即
,
∴,
∵,
,∴
,
∴四边形是平行四边形,则
,
∴,
∵底面
,∴
,
∵,
∴平面
,∵
平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)解:∵,
,∴
平面
,则
为直线
与平面
所成的角,
若与平面
所成夹角为
,则
,即
,
取的中点为
,连接
,则
,以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
∴,
,
设平面的法向量
,则
即
令,则
,
,∴
,
∵是平面
的一个法向量,
∴,
即当二面角的余弦值为
时,直线
与平面
所成的角为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请将上述列联表补充完整;
(2)并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由;
(3)已知在被调查的学生中有5名来自甲班,其中3名喜欢游泳,现从这5名学生中随机抽取2人,求恰好有1人喜欢游泳的概率.
下面的临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)