Question

【题目】已知函数， (为常数)．

（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）当函数在处取得极值,求函数的解析式；

（Ⅲ)当时，设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）g(x)= (x∈R) ;(3) ，).

【解析】试题分析：(1)求出函数的导数,求得切线的斜率和切点,运用点斜式方程即可得到切线方程;

(2)求得的导数,根据题意可得, ,解方程即可得到所求解析式;

(3)若函数在定义域上存在单调减区间依题存在使， 即存在使,运用参数分离,求得右边的最小值,即可得到所求范围.

试题解析：（Ⅰ）由 ()，可得 ()，∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是，即，所求切线方程为；

（Ⅱ）∵又g(x)= 可得，且g(x)在x=2处取得极值-2．

∴，可得解得，．所求g(x)= (x∈R) ．

(3)∵， ()．

依题存在使，∴即存在使，

∵不等式等价于 (min)

由基本不等式知，，)

∵存在，不等式(*)成立，∴．所求，)