题目内容
【题目】在直角坐标系中,二次函数
的图象与
轴交于
,
两点,点
的坐标为
.当
变化时,解答下列问题:
(1)以为直径的圆能否经过点
?说明理由;
(2)过,
,
三点的圆在
轴上截得的弦长是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)不经过点;(2)定值为
.
【解析】试题分析:(1)在方程中,令
可得点
,
的坐标,验证AC的斜率与BC的斜率之积是否为-1即可;(2)设过A,B,C三点的圆的方程为
,将点
三点坐标代入方程,并结合
,可得
,进一步得
,故圆的方程为
,令y=0可解得
,因此圆在y轴上截得的弦长是定值为4.。
试题解析:
(1)以为直径的圆不经过点C,理由如下:
设二次函数的图象与x轴交于A,B两点,设
,
在方程中,令
,得
,
则是方程
的两根,
∴
又C的坐标为(0,1),
故AC的斜率与BC的斜率之积为
所以直线AC,BC不垂直,
因此以为直径的圆不经过点C.
(2)设过A,B,C三点的圆的方程为,
∵点在圆上,
∴
,
由(1)
,
∴,
圆的方程为
,
令,得
解得,
∴圆在y轴上截得的弦长是定值为4.
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【题目】根据国家环保部最新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米。某城市环保部分随机抽取的一居民区过去20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
组别 | PM2.5平均浓度 | 频数 | 频率 |
第一组 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二组 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三组 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四组 | (75,100] | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(II)求样本平均数,并根据样本估计总计的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?并说明理由.