题目内容

7.设复数z=a+i(i是虚数单位,a∈R,a>0),且|z|=$\sqrt{10}$.
(Ⅰ)求复数z;
(Ⅱ)在复平面内,若复数$\overline{z}$+$\frac{m+i}{1-i}$(m∈R)对应的点在第四象限,求实数m取值范围.

分析 (Ⅰ)根据复数的模长公式进行化简即可.
(Ⅱ)根据复数的几何意义进行化简求解.

解答 解:(Ⅰ)∵z=a+i,|z|=$\sqrt{10}$,
∴|z|=$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{10}$,…(2分)
即a2=9,解得a=±3,…(4分)
又∵a>0,
∴a=3,…(5分)
∴z=3+i.                                …(6分)
(Ⅱ)∵z=3+i,则$\overline{z}$=3-i,…(7分)
∴$\overline{z}$+$\frac{m+i}{1-i}$=3-i+$\frac{(m+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$=$\frac{m+5}{2}$+$\frac{m-1}{2}$i,…(8分)
又∵复数$\overline{z}$+$\frac{m+i}{1-i}$(m∈R)对应的点在第四象限,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+5}{2}>0}\\{\frac{m-1}{2}<0}\end{array}\right.$  得$\left\{\begin{array}{l}{m>-5}\\{m<1}\end{array}\right.$          …(11分)
∴-5<m<1.              …(12分)

点评 本题主要考查复数的基本运算以及复数的几何意义的应用,考查学生的运算能力.

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