Question

16．某县为增强市民的环境保护意识，面向全县征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率．
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

Answer 1

分析 （1）直接利用频率分布直方图，求出各组的频率，然后求出频数．
（2）利用频率×样本=频数，求出各组人数．
（3）设出3组的人数符号，然后列出所有基本事件，求出基本事件的数目，满足题意的数目，求出所求概率即可．

解答 解：（1）由题设可知，第3组的频率为0.06×5=0.3，
第4组的频率为0.04×5=0.2，
第5组的频率为0.02×5=0.1．    （2分）
（2）第3组的人数为0.3×100=30，
第4组的人数为0.2×100=20，
第5组的人数为0.1×100=10．
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组：$\frac{30}{60}$×6=3； 第4组：$\frac{20}{60}$×6=2； 第5组：$\frac{10}{60}$×6=1．
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．    （6分）
（3）记第3组的3名志愿者为A₁，A₂，A₃，第4组的2名志愿者为B₁，B₂，第5组的1名志愿者为C₁．
则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），
（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共有15种．
其中第4组的2名志愿者B₁，B₂至少有一名志愿者被抽中的有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共有9种，
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率P=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$    （12分）

点评 本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．