题目内容
15．已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，nan+1=2Sn（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
分析 （1）通过a1=1、nan+1=2Sn（n∈N*）直接代入计算即可；
（2）当n＞1时利用nan+1-（n-1）an=2Sn-2Sn-1可知nan+1=（n+1）an，进而$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，利用累乘法计算并验证当n=1时亦成立即可．
解答 解：（1）∵a1=1，nan+1=2Sn（n∈N*），
∴a2=2S1=2a1=2，
∵2a3=2S2=2（a1+a2）=2（1+2）=6，
∴a3=3，
∵3a4=2S3=2（a1+a2+a3）=2（1+2+3）=12，
∴a4=4；
（2）当n＞1时，由nan+1=2Sn得（n-1）an=2Sn-1，
∴nan+1-（n-1）an=2Sn-2Sn-1=2an，
化简得：nan+1=（n+1）an，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∵a2=2，
∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{4}{3}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
以上（n-1）个式子相乘得：an=$2×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×$…×$\frac{n}{n-1}$=n，
又a1=1满足上式，
∴an=n（n∈N*）．
点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
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已知$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{π}{3}$x，sin$\frac{π}{3}$x），$\overrightarrow{b}$=A（cos2φ，-sin2φ），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$（A＞0，|φ|$＜\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，P、Q分别是该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A），点R的坐标为（1，0），△PRQ的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．