题目内容
已知圆:,点,直线.
(1)求与圆相切,且与直线垂直的直线方程;
(2)在直线上(为坐标原点),存在定点(不同于点),满足:对于圆上的任一点,都有为一常数,试求出所有满足条件的点的坐标.
(1)(2)见解析
解析试题分析:(1)根据所求直线与已知直线垂直,可设出直线方程,再根据直线与圆相切,所以有(其中表示圆心到直线的距离),可得到直线方程;
(2)方法一:假设存在这样的点,由于的位置不定,所以首先考虑特殊位置,①为圆与轴左交点或②为圆与轴右交点这两种情况,由于对于圆上的任一点,都有为一常数,所以①②两种情况下的相等, 可得到,然后证明在一般的下, 为一常数.
方法二:设出,根据对于圆上的任一点,都有为一常数,设出以及该常数,通过,代入的坐标化简,转化为恒成立问题求解.
试题解析:(1)已知直线变形为为,因为所求直线与已知直线垂直,
所以设所求直线方程为,即.
由直线与圆相切,可知,其中表示圆心到直线的距离,
则,得,故所求直线方程为.
(2)假设存在这样的点,
当为圆与轴左交点时,,
当为圆与轴右交点时,
依题意,,解得(舍去),或.
下面证明:点对于圆上任一点,都有为一常数.
设,则.
,
从而为常数.
方法2:假设存在这样的点,使得为常数,则,
设于是,由于在圆上,所以,代入得,
,
即对恒成立,
所以 ,解得或
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