题目内容
已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称.
⑴求圆C的方程;
⑵设Q为圆C上的一个动点,求的最小值;
⑶过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.
(1);(2)-4;(3)OP∥AB;理由祥见解析.
解析试题分析:(1)由于两圆关于某直线对称,则两圆的圆心关于该直线对称且半径相等;所以可先由圆C与圆M:(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称,求出圆C的圆心C的坐标(x0,y0),进而写出圆C的方程,再由圆C过点P(1,1)就可求出半径r的值,从而得圆C的方程;其中求圆心C的坐标(x0,y0)这样进行:因为圆M的圆心M(-2,-2),所以有MC的中点在直线x+y+2=0上,且MC与直线x+y+2=0垂直,可列出关于x0,y0的方程组,解此方程组就可求得x0,y0的值;(2)设出点Q的坐标,则可用点Q的坐标表示出来,再由点Q在圆C上,可考虑用三角换元或用数形结合法来求的最小值;(3)由于直线PA和直线PB的倾斜角互补且PA与PB是两条相异直线,所以两直线的倾斜角均不为900,从而两直线的斜率都存在,若设PA的斜率为k,则PB的斜率就为-k,从而就可写出两直线的方程,与圆C的方程结合起来就可用k的式子表示出A,B两点的从标,从而就可求出直线AB的斜率,又OP的斜率可求,从而就可判断直线OP和AB是否平行了.
试题解析:(1)设圆C的圆心C的坐标为(x0,y0),由于圆M的圆心M(-2,-2),则有:,所以圆C的方程为:,又因为圆C过点P(1,1),所以有,故知:⊙C的方程为:
(2)设Q(x、y),则,从而可设
则
所以的最小值为-4.
(3)设PA的方程为:,则PB的方程为:
由得,同理可得:
OP∥AB.
考点:1.圆的方程;2.向量的数量积;3.直线和圆的位置关系.