题目内容
【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数,
),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)若,求直线
的普通方程及曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线
有两个不同的交点,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)普通方程为.直角坐标方程为
;(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)根据参普互化的公式,以及极坐标和直角坐标互化的公式得到结果;(Ⅱ)通过分析临界情况,即直线和圆的相切的情况,进而得到满足有2个交点是直线的倾斜角的范围.
(Ⅰ)当时,直线的
参数方程为
.
所以其普通方程为.
对于曲线,由
,得
,
所以其直角坐标方程为.
(Ⅱ)由题意得,直线过定点
,
为其倾斜角,曲线
:
,表示以
为圆心,以1为半径的圆.
当时,直线
为
,此时直线
与圆
不相交.
当时,设
表示直线的斜率,则
:
.
设圆心到直线
的距离为
.
当直线与圆
相切时,令
,解得
或
.
则当直线与圆
有两个不同的交点时,
.
因为,由
,可得
,
即的取值范围为
.
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