题目内容

【题目】已知椭圆的短轴长为,离心率为

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设椭圆的左,右焦点分别为左,右顶点分别为,点,为椭圆上位于轴上方的两点,且,记直线的斜率分别为,若,求直线的方程.

【答案】(1)(2)

【解析】

1)由题意可得:2b4a2b2+c2.联立解出即可得出椭圆C的标准方程.(2A(﹣30),B30),F1(﹣10),F210),设F1M的方程为:xmy1M),(0),直线F1M与椭圆的另一个交点为M′().由根据对称性可得:.直线方程与椭圆方程联立化为:(8m2+9y216my640,根据根与系数的关系及其,得0,联立解得m

(1)由题意,得.

,∴.

∴椭圆C的标准方程为

(2)由(1),可知.

据题意,直线的方程为

记直线与椭圆的另一交点为,设.

,根据对称性,得.

联立

消去,得,其判别式

.①

,得,即.②

由①②,解得

,∴.

.∴.

∴直线的方程为,即.

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