题目内容
【题目】如图,在直角梯形中,
,
,且
,点
是
中点,现将
沿
折起,使点
到达点
的位置.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若与平面
所成的角为
,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)
【解析】
第(Ⅰ)问先证平面
,由线面垂直证明面面垂直;
第(Ⅱ)问先找垂直关系后建立空间直角坐标系,利用向量法求出两面的法向量,进而求所成二面角的余弦值.
解:(Ⅰ)证明:∵,
,点
是
中点,
∴,
,∴四边形
为平行四边形,
∴,
又,∴
,
∴,
,∴
平面
,
∴平面
,
又∵平面
,∴平面
平面
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面
,
∴即为
与平面
所成的角,
∴,
∵平面
,∴
,∴
为等腰直角三角形,∴
,
故为等边三角形,
取的中点
,连结
,则
,
∵平面
,又
平面
,
∴平面平面
,又
平面
,
∴平面
,
以为坐标原点,过点
与
平行的直线为
轴,
所在的直线为
轴,
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系如图,
设,则
,
,
,
,
从而,
,
设平面的一个法向量为
,
则由得
,令
得
,
又平面的一个法向量
,
则,
所以,平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机调查了50人,他们年龄大点频率分布及支持“生育二胎”人数如下表:
年龄 | ||||||
频率 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
支持“生育二胎” | 4 | 5 | 12 | 8 | 2 | 1 |
(1)由以上统计数据填下面2乘2列联表,并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异:
(2)若对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少?
参考数据: ,
,
.
【题目】随着我国经济的飞速发展,人民生活水平得到很大提高,汽车已经进入千千万万的家庭.大部分的车主在购买汽车时,会在轿车或者中作出选择,为了研究某地区哪种车型更受欢迎以及汽车一年内的行驶里程,某汽车销售经理作出如下统计:
购买了轿车(辆) | 购买了 | |
| ||
|
(1)根据表,是否有的把握认为年龄与购买的汽车车型有关?
(2)图给出的是名车主上一年汽车的行驶里程,求这
名车主上一年汽车的平均行驶里程(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)用分层抽样的方法从岁以上车主中抽取
人,再从这
人中随机抽取
人赠送免费保养券,求这
人中至少有
辆轿车的概率。
附:,