题目内容
【题目】如图,正方形的边长为2,,分别为的中点,与交于点,将沿折起到的位置,使平面平面.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)判断线段上是否存在点,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在点,使平面,此时的值为.
【解析】
(Ⅰ)先证明平面,又因为平面,所以平面平面;(Ⅱ)因为两两垂直,所以,以为原点,建立空间直角坐标系,再利用向量法求二面角的余弦值;(Ⅲ)设(),利用向量法求得.所以存在点,使平面,此时的值为.
解:(Ⅰ)因为正方形中,,分别为的中点,
所以,.
所以.
所以.
又因为平面,
平面平面,
平面平面,
所以平面.
又因为平面,
所以平面平面.
(Ⅱ)因为两两垂直,所以,以为原点,建立空间直角坐标系,
如图,
则,,
所以,,
由(Ⅰ)知,是平面的一个法向量.
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,.所以.
.
由图可知所求二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为.
(Ⅲ)设(),
,
若使平面,则.
即,解得.
所以存在点,使平面,此时的值为.
【题目】每当《我心永恒》这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时,便会想起电影《泰坦尼克号》中一暮暮感人画面,让我们明白了什么是人类的“真、善、美”.为了推动我市旅游发展和带动全市经济,更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”.我市某地将按“泰坦尼克号”原型比例重新修建.为了了解该旅游开发在大众中的熟知度,随机从本市岁的人群中抽取了人,得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示,现让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成?”,统计结果如下表所示:
组号 | 分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数 占本组的频率 |
第组 | |||
第组 | |||
第组 | |||
第组 | |||
第组 |
(1)求出的值;
(2)从第组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人,求第组每组抽取的人数;
(3)在(2)中抽取的人中随机抽取人,求所抽取的人中恰好没有年龄在段的概率.
【题目】“有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”,维护社会稳定和和平发展.扫黑除恶期间,大量违法分子主动投案,某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计,表示第天主动投案的人数,得到统计表格如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 | 7 |
(1)若与具有线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2)判定变量与之间是正相关还是负相关.(写出正确答案,不用说明理由)
(3)预测第八天的主动投案的人数(按四舍五入取到整数).
参考公式:, ./span>