题目内容
13.已知函数f(x)=lg(ax2-2x+a).(1)如果f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(2)如果f(x)的值域为R,求a的取值范围.
分析 (1)把函数f(x)=lg(ax2-2x+a)的定义域为R,转化为不等式ax2-2x+a>0对任意实数x恒成立,然后由二次函数的开口方向及判别式列不等式组求解;
(2)函数f(x)=lg(ax2-2x+a)的值域为R,说明g(x)=ax2-2x+a能取到大于0的所有实数,再由二次函数的开口方向及判别式列不等式组求解.
解答 解:(1)函数f(x)=lg(ax2-2x+a)的定义域为R,说明对任意实数x,不等式ax2-2x+a>0恒成立,
则需$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{△=(-2)^{2}-4{a}^{2}<0}\end{array}\right.$,解得a>1;
(2)函数f(x)=lg(ax2-2x+a)的值域为R,说明g(x)=ax2-2x+a能取到大于0的所有实数,
则a=0①,或$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{△=(-2)^{2}-4{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$②,
解②得0<a≤1,
∴0≤a≤1.
点评 本题考查函数的定义域和值域,考查了转化思想方法,关键是对题意的理解,是中档题.
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