题目内容
【题目】设,函数
,
.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)求函数的极值;
(3)若函数在区间
上有唯一零点,试求
的值.
【答案】(1)的减区间为
,增区间为
;(2)
有极大值
,无极小值;(3)
.
【解析】
(1)求出,解得
或
,则可探究当
时,当
时,
的变化,从而求出单调区间;
(2)求出,令
,结合导数探究
在
的单调性,结合
,可探究出
随
的变化情况,从而可求极值;
(3)令,可得
在
只有一个解,借助第二问可知
,从而可求出
的值.
解:(1)当时,
.易知
的定义域为
,
令,解得
或
,
当时,
,则
递减;当
时,
,则
递增,
因此,的减区间为
,增区间为
.
(2)的定义域为
,则
,令
,
则,故
在
单调递减,又知
,
当时,
,即
;当
时,
,即
因此在
单调递增,在
单调递减.
即当 时,
有极大值
,无极小值.
(3)令,整理得:
在
只有一个解,
即的图像与
的图像在
只有一个交点,由(2)知,
在
单调递增,在
单调递减,且
有极大值
,
所以,,解得
.
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练习册系列答案
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【题目】某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛,抽取了近期两人次数学考试的成绩,统计结果如下表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
甲的成绩(分) | |||||
乙的成绩(分) |
(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛,你认为选谁合适?请说明理由.
(2)若数学竞赛分初赛和复赛,在初赛中有两种答题方案:
方案一:每人从道备选题中任意抽出
道,若答对,则可参加复赛,否则被淘汰.
方案二:每人从道备选题中任意抽出
道,若至少答对其中
道,则可参加复赛,否则被润汰.
已知学生甲、乙都只会道备选题中的
道,那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.