题目内容
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)若直线与曲线
至多只有一个公共点,求实数
的取值范围;
(2)若直线与曲线
相交于
,
两点,且
,
的中点为
,求点
的轨迹方程.
【答案】(1)或
;(2)
【解析】
(1)利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式把曲线和直线
的方程化为直角坐标方程,并联立直线
和曲线
的直角坐标方程,得到关于
的一元二次方程,利用判别式
即可求出实数
的取值范围;
根据题意,设
,
,
的中点
为
,直线
和曲线
的直角坐标方程联立,得到关于
的一元二次方程,由两个交点
,
可得判别式
,求出
取值范围,利用韦达定理和点
在直线
上表示出点
坐标,消去参数
即可求出
,
的中点
的轨迹方程.
(1)因为曲线的参数方程为
(
为参数),
消去参数可得,曲线
的直角坐标方程为
,
由题意知,直线的极坐标方程可化为
,
因为,所以直线
的直角坐标方程为
,
联立方程,可得
,
因为直线与曲线
至多只有一个公共点,
所以判别式,解得
或
,
所以所求实数的取值范围为
或
.
(2)设,
,
的中点
为
,
联立方程,可得
,
所以判别式,解得
,
由韦达定理可得,,
因为点在直线
上,所以
,
所以可得,
即为点
的轨迹方程.
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