题目内容
【题目】已知函数(
为常数,
是自然对数的底数),曲线
在点
处的切线与
轴垂直.
(1)求的单调区间;
(2)设,对任意
,证明:
.
【答案】(1)的单调递增区间是
,单调递减区间是
;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)求出,根据曲线
在点
处的切线与
轴垂直即切线斜率为
,求出
的值,解
即得函数
的单调递增区间和递减区间;(2)由于
,所以整理
得
,分别证明
时,
和
,根据(1)可知:当
时,由(1)知
成立;当
时,
,
,即证
,构造函数
,利用导数研究其在
单调性,求出其在
上的最大值即可证得
,再构造函数
,利用导数求出其最小值,根据不等式的性质即可得到要证明的结论.
试题解析:(1)因为,由已知得
,∴
.
所以,
设,则
,在
上恒成立,即
在
上是减函数,
由知,当
时
,从而
,当
时
,从而
.
综上可知,的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(2)因为,要证原式成立即证
成立,
现证明:对任意恒成立,
当时,由(1)知
成立;
当时,
,且由(1)知
,∴
.
设,则
,
当时,
,当
时,
,所以当
时,
取得最大值
. 所以
,即
时,
.
综上所述,对任意.①
令,则
恒成立,所以
在
上递增,
恒成立,即
,即
.②
当时,有
;当
时,由①②式,
,
综上所述,时,
成立,故原不等式成立
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