题目内容

【题目】已知数列满足:对任意的,若,则,且,设集合,集合中元素最小值记为,集合中元素最大值记为

(1)对于数列:,写出集合

(2)求证:不可能为18

(3)求的最大值以及的最小值.

【答案】(1);(2)详见解析;(3)的最大值为17 的最小值为16

【解析】

1)由题意易得

2)利用反证法,假设,可推出这一集合元素互异性的矛盾;

3)首先求,由(2)知,而是可能的;再证明:的最小值为16

(1)由题意易得.

(2)证明:假设

=

,因为,所以

同理,设,可以推出

中有两个元素为1,与题设矛盾,故假设不成立,

不可能为18

(3)的最大值为17的最小值为16

①首先求,由(2)知,而是可能的.

时,

=

,即

同理可得:

对于数列:

此时,满足题意.

所以的最大值为17

②现证明:的最小值为16

先证明为不可能的,假设

可得,即,元素最大值为10,所以

同理可以推出,矛盾,假设不成立,所以

数列为:时,

中元素的最大值为16

所以的最小值为16

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