题目内容
【题目】已知数列满足:对任意的
,若
,则
,且
,设集合
,集合
中元素最小值记为
,集合
中元素最大值记为
.
(1)对于数列:,写出集合
及
;
(2)求证:不可能为18;
(3)求的最大值以及
的最小值.
【答案】(1),
,
;(2)详见解析;(3)
的最大值为17,
的最小值为16.
【解析】
(1)由题意易得,
,
.
(2)利用反证法,假设,可推出
,
这一集合元素互异性的矛盾;
(3)首先求,由(2)知
,而
是可能的;再证明:
的最小值为16.
(1)由题意易得,
,
.
(2)证明:假设,
设,
则=
,
即,因为
,所以
,
同理,设,可以推出
,
中有两个元素为1,与题设矛盾,故假设不成立,
不可能为18.
(3)的最大值为17,
的最小值为16.
①首先求,由(2)知
,而
是可能的.
当时,
设
则=
即,
又
得,即
.
同理可得:.
对于数列:
此时,
,满足题意.
所以的最大值为17;
②现证明:的最小值为16.
先证明为不可能的,假设
.
设,
可得,即
,元素最大值为10,所以
.
又,
同理可以推出,矛盾,假设不成立,所以
.
数列为:时,
,
,
中元素的最大值为16.
所以的最小值为16.
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练习册系列答案
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,
分组,绘成频率分布直方图如下:
嘉宾 | ||||||
评分 | 96 | 95 | 96 | 89 | 97 | 98 |
(1)从观众中任取三人,求这三人中恰有1人分数在另2人分数在
的概率;
(2)从嘉宾中随机选3人,记3人中分数不低于96分的人数为,求
的期望;
(3)嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为
与
的大小关系(不需要证明).