Question

【题目】解答题。
（1）偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，求满足f（2x﹣1）＞f（3）的x的取值范围
（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．解关于x的不等式f（x）＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（|x|），

∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），

则不等式f（2x﹣1）＞f（3）转化为：f（|2x﹣1|）＞f（3），

∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为单调递减，

∴|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2，

则不等式的解集是：（﹣1，2）

（2）解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=1，

∴f（x）在在（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣1）=1，

∵关于x的不等式f（x）＞1，∴x＜﹣1，或x＞1，

故原不等式的解集为{x|x＞1，或x＜﹣1}

【解析】（1）根据偶函数的性质，可知f（x）=f（|x|），将不等式f（2x﹣1）＞f（3）转化为：f（|2x﹣1|）＞f（3），再运用f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，去掉“f”，列出关于x的不等式，求解即可得到x的取值范围．（2）由题意可得 f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣1）=1，由不等式f（x）＞1，可得x的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．