题目内容
19.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}=\sqrt{3}$,c=4,则△ABC的面积为( )A. | 2 | B. | 4 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $2\sqrt{3}$ |
分析 由已知结合正弦定理得sin2A=sin2B,由A、B是三角形的内角,可得A=B或A+B=90°,由 $\frac{b}{a}=\sqrt{3}$,得A+B=90°,可得C=180°-(A+B)=90°,设b=$\sqrt{3}$x,a=x,可得c=2x=4,从而解得a,b的值,利用直角三角形面积公式即可的季节.
解答 解:∵$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}=\sqrt{3}$,
∴acosA=bcosB,结合正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,
∴2sinAcosA=2sinBcosB,即sin2A=sin2B,
∵A、B是三角形的内角,
∴2A=2B或2A+2B=180°,可得A=B或A+B=90°
∵$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$,得a、b的长度不相等,
∴A=B不成立,只有A+B=90°,可得C=180°-(A+B)=90°
因此,△ABC是直角三角形
设b=$\sqrt{3}$x,a=x,可得c=2x=4,
∴x=2,于是b=2$\sqrt{3}$且a=2,
由此可得△ABC的面积是S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$.
故选:D.
点评 本题主要考查了正弦定理,三角形面积公式,三角形内角和定理,勾股定理的应用,属于基本知识的考查.
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