Question

11．已知等差数列{a_n}满足：a₇=4，a₁₉=2a₉，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令${b_n}=\frac{1}{{n{a_n}}}$（n∈N*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）建立方程组，求出数列的首项和公差即可求{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用裂项法进行求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，依题有$\left\{{\begin{array}{l}{{a_7}=4}\\{{a_{19}}=2{a_9}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+6d=4}\\{{a_1}+18d=2（{{a_1}+8d}）}\end{array}}\right.$，
解得a₁=1，d=$\frac{1}{2}$，
所以${a_n}=1+\frac{1}{2}（{n-1}）=\frac{n+1}{2}$；
（2）由（1）知${a_n}=\frac{n+1}{2}$，由${b_n}=\frac{1}{{n{a_n}}}=\frac{2}{{n（{n+1}）}}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$，
得${T_n}=（\frac{2}{1}-\frac{2}{2}）+（\frac{2}{2}-\frac{2}{3}）+…+（\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}）\;=\frac{2n}{n+1}$，
即数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．