题目内容
【题目】法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000
，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.
（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000的个数为
，求的分布列和数学期望；
（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：）
981 | 972 | 966 | 992 | 1010 | 1008 | 954 | 952 | 969 | 978 |
989 | 1001 | 1006 | 957 | 952 | 969 | 981 | 984 | 952 | 959 |
987 | 1006 | 1000 | 977 | 966 |
尽管上述数据都落在
上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由
附：
①若
，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则由统计学知识可知：随机变量
②若
，则
，
，
；
③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.
【答案】（1）分布列见解析；期望为1（个）（2）详见解析
【解析】
（1）由题意知，
的所有可能取值为0，1，2.可求得
；
；
.从而可求得的分布列和其数学期望.
（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎，则
.由附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则
.可求得这25个数据的平均值为
，而由由附②数据知，
，由附③知，事件“
”为小概率事件，可得结论.
（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.
；
；
.所以的分布列为：
| 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
所以
（个）.
（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.
假设面包师没有撒谎，则.
根据附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，
则.
庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X的取值中随机抽取了25个数据，
这25个数据的平均值为，
由附②数据知，，
由附③知，事件“”为小概率事件，
所以“假设面包师没有撒谎”有误，
所以庞加莱认为面包师撒谎.
