题目内容

15.过抛物线y2=2px定点(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0≠0)分别作斜率为k和-k的直线l1,l2,设l1,l2分别与抛物线y2=2px交于A,B两点,证明:直线AB的斜率为定值.

分析 设A(x1,y1),B(x2,y2)利用点差法,可得kAB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$,kAP=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{0}}$,kBP=$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{0}}$,再由l1,l2斜率相反,得到答案.

解答 证明:∵A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y2=2px上,
∴y12=2px1,y22=2px2
两式相减得:y12-y22=2p(x1-x2),
∵x1≠x2
∴kAB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$,
同理,kAP=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{0}}$,kBP=$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{0}}$,
∵kAP=-kBP
∴$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{0}}$=-$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{0}}$,
∴y1+y2=-2y0
∴kAB=$\frac{2p}{-2{y}_{0}}$=$-\frac{p}{{y}_{0}}$

点评 本题考查直线与抛物线的性质和应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答

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