Question

3．已知数列{a_n}中a_n＞0，其前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有S_n=$\frac{1}{4}$（a${\;}_{n}^{2}$+2a_n+1），等比数列{b_n}的通项公式为b_n=3ⁿ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{（-1）ⁿa_n+b_n}的前n项和T_n；
（3）设c_n=2${\;}^{1+{a}_{n}}$+（-1）ⁿt•b_n（t为非零整数，n∈N^*），若对任意n∈N^*，c_n+1＞c_n恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{4}$$（{a}_{1}^{2}+2{a}_{1}+1）$，解得a₁．当n≥2时，利用递推关系化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由a_n＞0，可得：a_n-a_n-1=2．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）设数列{（-1）ⁿa_n}，{b_n}的前n项和分别为A_n，B_n．B_n=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
当n=2k（k∈N^*）为偶数时，A_n=-a₁+a₂-a₃+a₄+…-a_2k-1+a_2k=n．可得T_n．当n=2k-1（k∈N^*）为奇数时，A_n=A_n-1-a_n．可得T_n．
（3）c_n=2${\;}^{1+{a}_{n}}$+（-1）ⁿt•b_n=4ⁿ+（-1）ⁿt•3ⁿ．c_n+1＞c_n即：4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ⁺¹t•3ⁿ⁺¹＞4ⁿ+（-1）ⁿt•3ⁿ．对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵对任意的n∈N^*，都有S_n=$\frac{1}{4}$（a${\;}_{n}^{2}$+2a_n+1），
当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{4}$$（{a}_{1}^{2}+2{a}_{1}+1）$，解得a₁=1．
当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}+1）$，∴4a_n=$（{a}_{n}^{2}+2{a}_{n}-{a}_{n-1}^{2}-2{a}_{n-1}）$，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴可得：a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）设数列{（-1）ⁿa_n}，{b_n}的前n项和分别为A_n，B_n．
B_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
当n=2k（k∈N^*）为偶数时，A_n=-a₁+a₂-a₃+a₄+…-a_2k-1+a_2k=（3-1）+（5-3）+…+[2k-（2k-1）]=2k=n．T_n=n+$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
当n=2k-1（k∈N^*）为奇数时，A_n=A_n-1-a_n=（n-1）-（2n-1）=-n．T_n=-n+$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+\frac{3}{2}（{3}^{n}-1），n为偶数}\\{-n+\frac{3}{2}（{3}^{n}-1），n为奇数}\end{array}\right.$．
（3）c_n=2${\;}^{1+{a}_{n}}$+（-1）ⁿt•b_n=4ⁿ+（-1）ⁿt•3ⁿ．
c_n+1＞c_n即：4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ⁺¹t•3ⁿ⁺¹＞4ⁿ+（-1）ⁿt•3ⁿ．
当n为偶数时，可得4ⁿ⁺¹-t•3ⁿ⁺¹＞4ⁿ+t•3ⁿ，化为t＜$（\frac{4}{3}）^{n-1}$，∴$t＜\frac{4}{3}$．
当n为奇数时，可得4ⁿ⁺¹+t•3ⁿ⁺¹＞4ⁿ-t•3ⁿ，化为$t＞-（\frac{4}{3}）^{n-1}$，∴t＞-1．
综上可得：$-1＜t＜\frac{4}{3}$，
∵t为非零整数，∴t=1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、指数幂的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．