题目内容
【题目】如图,椭圆C1: 和圆C2:x2+y2=b2 , 已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分,且圆C2的面积为π.椭圆C1的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A,B,直线EA,EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P,M.
(I)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)求△EPM面积最大时直线l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)由圆C2的面积为π,得:b=1,
圆C2将椭圆C1的长轴三等分,可得a=3b=3,
所以椭圆方程为: +y2=1;
(Ⅱ)由题意得:直线PE,ME的斜率存在且不为0,PE⊥EM,
不妨设直线PE的斜率为k(k>0),则PE:y=kx﹣1,
由 ,得:
或
,
所以P( ,
),同理得M(
,
),
kPM= ,
由 ,得A(
,
),所以:kAB=
,
所以 ,
设 ,则
,
当且仅当 时取等号,所以k﹣
=±
,
则直线AB:y= x=
(k﹣
)x,
所以所求直线l方程为:
【解析】(Ⅰ)由圆的面积公式可得b=1,再由三等分可得a=3b=3,进而得到椭圆方程;(Ⅱ)由题意得:直线PE,ME的斜率存在且不为0,PE⊥EM,不妨设直线PE的斜率为k(k>0),则PE:y=kx﹣1,
代入椭圆方程求得P,M的坐标,再由直线和圆方程联立,求得A的坐标,直线AB的斜率,求得△EPM的面积,化简整理,运用基本不等式可得最大值,进而得到所求直线的斜率,可得直线方程.
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