题目内容

【题目】已知点,点是圆上的任意一点,设为该圆的圆心,并且线段的垂直平分线与直线交于点.

(1)求点的轨迹方程;

(2)已知两点的坐标分别为 ,点是直线上的一个动点,且直线分别交(1)中点的轨迹于两点(四点互不相同),证明:直线恒过一定点,并求出该定点坐标.

【答案】(1)(2)直线恒过一定点.

【解析】试题分析:(1)利用垂直平分线的性质可得,再结合椭圆的定义,可得点的轨迹方程;(2)设直线的方程为与椭圆方程联立,消去,利用根与系数的关系可得,利用两直线方程,及 的交点的横坐标为,可得,结合前面两式,化简可得.则当时,恒成立,直线过定点.试题解析:(Ⅰ)依题意有,

所以点的轨迹方程为:

(Ⅱ)依题意设直线的方程为:

代入椭圆方程得:

且: ①,

∵直线 ,直线

由题知 的交点的横坐标为4,得:

,即

即: ,整理得:

将①②代入③得:

化简可得:

变化时,上式恒成立,故可得:

所以直线恒过一定点.

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练习册系列答案
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