题目内容
【题目】已知f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x).
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)已知函数g(x)=log
,当x∈[
,
]时,不等式 f(x)≥g(x)有解,求k的取值范围.
【答案】
(1)解:f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x)为奇函数.
理由:1+x>0且1﹣x>0,得定义域为(﹣1,1),
又f(﹣x)=log3(1﹣x)﹣log3(1+x)=﹣f(x),
则f(x)是奇函数
(2)解:g(x)=log
=2log3
,
又﹣1<x<1,k>0,(6分)
由f(x)≥g(x)得log3 ≥log3
,
即 ≥
,
即k2≥1﹣x2,(9分)
x∈[ ,
]时,1﹣x2最小值为
,
则k2≥ ,
又k>0,则k≥ ,
即k的取值范围是(﹣∞, ]
【解析】(1)f(x)为奇函数,理由:求得定义域,计算f(﹣x)与f(x)比较即可得证;(2)由题意可得log3 ≥log3
,即
≥
,即k2≥1﹣x2 , 求得1﹣x2的最小值即可得到k的范围.
【考点精析】通过灵活运用函数的奇偶性,掌握偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题.
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【题目】棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于300的为“长纤维”,其余为“短纤维”)
纤维长度 | |||||
甲地(根数) | 3 | 4 | 4 | 5 | 4 |
乙地(根数) | 1 | 1 | 2 | 10 | 6 |
(1)由以上统计数据,填写下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.
甲地 | 乙地 | 总计 | |
长纤维 | |||
短纤维 | |||
总计 |
附:(1);
(2)临界值表;
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)现从上述40根纤维中,按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地“短纤维”的根数为,求
的分布列及数学期望.