Question

13．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=4-2n（n∈N^*），设c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差数列，可得2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$，即2S_n=4a_n-1（n≥1），利用2S_n-1=4a_n-1-1，两式相减得整理可得a_n=2a_n-1，利用等比数列的通项公式可求；
（2）由题意可得，c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=（4n-2）•（$\frac{1}{2}$）^n-2，根据数列通项的特点考虑利用错位相减可得．

解答 解：（1）由S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差数列，可得2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，
由2S_n=4a_n-1（n≥1），∴2S_n-1=4a_n-1-1（n≥2），
∴两式相减得2a_n=（4a_n-1）-（4a_n-1-1）=4a_n-4a_n-1，
即a_n=2a_n-1（n≥2），
∴数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2（n∈N^*）；
（2）由题意可得，c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=（4-2n）•（$\frac{1}{2}$）^n-2，
T_n=c₁+c₂+…+c_n
=2•（$\frac{1}{2}$）^-1+0•（$\frac{1}{2}$）⁰+…+（4-2n）•（$\frac{1}{2}$）^n-2，①
$\frac{1}{2}$T_n=2•（$\frac{1}{2}$）⁰+0•（$\frac{1}{2}$）¹+…+（4-2n）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，②
①-②可得，$\frac{1}{2}$T_n=4-2[（$\frac{1}{2}$）⁰+（$\frac{1}{2}$）¹+…+（$\frac{1}{2}$）^n-2]-（4-2n）•（$\frac{1}{2}$）^n-1
=4-2•$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$-（4-2n）•（$\frac{1}{2}$）^n-1
化简可得T_n=4n•（$\frac{1}{2}$）^n-1．

点评 本题主要考查了利用递推公式构造求解数列的通项公式，而错位相减求解数列的和是数列求和的难点和重点，要注意该方法的掌握．